Независимость случайных величин

Условные рассредотачивания. Независимость случайных величин

Условное рассредотачивание — это рассредотачивание случайной величины при условии, что другая случайная величина воспринимает определённое значение

Будем полагать, что задано вероятностное место .

Дискретные случайные величины

Пусть и — случайные величины, такие, что случайный вектор имеет дискретное рассредотачивание, задаваемое функцией вероятности . Пусть таковой, что . Тогда функция

,

где — функция вероятности случайной величины Независимость случайных величин , именуется условной функцией вероятности случайной величины при условии, что . Рассредотачивание, задаваемое условной функцией вероятности, именуется условным рассредотачиванием.

Полностью непрерывные случайные величины

Пусть и — случайные величины, такие что случайный вектор имеет полностью непрерывное рассредотачивание, задаваемое плотностью вероятности . Пусть таково, что , где — плотность случайной величины . Тогда функция

именуется условной плотностью вероятности случайной величины при Независимость случайных величин условии, что . Рассредотачивание, задаваемое условной плотностью вероятности, именуется условным рассредотачиванием.

Характеристики условных рассредотачиваний

1. Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, другими словами они удовлетворяют всем нужным условиям. А именно,

,

,

и

практически везде на ,

,

2. Справедливы формулы полной вероятности

,

.

3. Если случайные величины и независимы, то условное рассредотачивание равно Независимость случайных величин бесспорному:

либо

практически везде на .

Условные математические ожидания

Дискретные случайные величины

· Условное математическое ожидание случайной величины при условии выходит суммированием относительно условного рассредотачивания:

.

· Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это 3-я случайная величина , задаваемая равенством

.

Полностью непрерывные случайные величины

· Условное математическое ожидание случайной величины при условии выходит интегрированием относительно условного рассредотачивания Независимость случайных величин:

.

· Условное математическое ожидание при условии случайной величины — это 3-я случайная величина , задаваемая равенством

.

Независимость случайных величин

Случайная величина именуется независящей от случайной величины , если закон рассредотачивания величины не находится в зависимости от того, какое значение приняла величина .

Для непрерывных случайных величин условие независимости от может быть записано в виде:

при любом Независимость случайных величин .

Напротив, в случае, если находится в зависимости от , то

.

Потому что зависимость и независимость случайных величин всегда обоюдны, можно дать новое определение независящих случайных величин.

Случайные величины и именуются независящими, если закон рассредотачивания каждой из их не находится в зависимости от того, какое значение приняла другая. В неприятном случае величины Независимость случайных величин и именуются зависимыми.

Для независящих непрерывных случайных величин аксиома умножения законов рассредотачивания воспринимает вид:

,

Определение 4. Случайные величины Х и У, определенные на одном и том же пространстве простых событий, именуются независящими, если для всех чисел а и b независимы действия {X=a} и {Y=b}.

Утверждение 6. Если случайные величины Х и У Независимость случайных величин независимы, а и b – некие числа, то случайные величины X+a и Y+b также независимы.

Вправду, действия {X+a=с} и {Y+b=d} совпадают с событиями {X=с-a} и {Y=d-b} соответственно, а поэтому независимы.

Утверждение 7. Если случайные величины Х и У Независимость случайных величин независимы, то математическое ожидание произведения ХУ равно произведению математических ожиданий Х и У, т.е. М(ХУ)=М(Х)М(У).

Два действия именуются независящими если возможность их совмещения ровна произведению вероятностей этих событий.

Несколько событий именуются попарно независящими если каждые два из их независимы.

Несколько событий именуются независящими в совокупы Независимость случайных величин , если независимы каждые два из их и независимы каждое событие и все вероятные произведения других


nezavisimaya-gazeta-moskva-n076-1442009-yakushev-vladimir-a-gde-nashi-gazovie-gidrati.html
nezavisimaya-gazeta-vremya-novostej-ria-novij-region-oreanda-ria-novosti-polit-ru-politkom-the-moscow-post-finam.html
nezavisimaya-peremennaya.html